آزمونهای ناپارامتریک برای فرضیه‌های همبستگی و رابطه ای

ضریب همبستگی رتبه‌ای کندال tau- c)  c)

از ضریب همبستگی رتبه‌ای کندال c یا tau- c زمانی استفاده می‌شود که متغیرهای مورد مطالعه در سطح رتبه‌ای اندازه‌ گیری شده و جدول داده‌های مربوط به آن‌ ها مستطیل شکل باشد. اما در محاسبات خود زوج‌های گره خورده (زوج‌هایی که رتبه آن‌ها برابر است) را نادیده می‌گیرد. مانند رابطه بین رضایت مشتری (با عبارت “من از مدت زمانی که طول کشید تا بسته به دست من برسد، راضی هستم” در طیف ۵ گزینه‌ای لیکرت از کاملاً مخالفم تا کاملاً موافقم اندازه‌ گیری شده است) و زمان تحویل کالا (دارای ۴ طبقه شامل روز بعد،‌ ۲ روز بعد،‌ ۳ تا ۵ روز و بیش از ۵ روز است)

ضریب همبستگی رتبه‌ای کندال c متقارن است و مقدار آن بین ۱+ و ۱- قرار دارد و مشابه با ضریب همبستگی پیرسون تفسیر می‌شود.

فرمول محاسبه ضریب همبستگی رتبه‌ای کندال  c

P: تعداد توافق‌ها یعنی تعداد اعداد (مواردی) که رتبه بالاتری برای هر رتبه متغیر دوم (Y) به دست آورده‌اند.

Q: تعداد عدم توافق‌ها یعنی مجموع تعداد اعداد (مواردی) که رتبه پایین‌تری برای هر رتبه متغیر دوم (Y) به دست آورده‌اند.

N: تعداد آزمودنی‌ها (حجم نمونه)      و      m: حداقل سطر یا ستون

ضریب d سامرز (Somers’ d)

ضریب d سامرز برای ارزیابی رابطه بین دو متغیر رتبه‌ای به کار می‌رود، شکل خاصی از ضریب گاما است که در آن یکی از متغیرها به عنوان متغیر وابسته در نظر گرفته می‌شود. از ضریب گاما دقیق‌تر است.

ضریب d سامرز نامتقارن است. مانند رگرسیون عمل می‌کند. بنابراین، زمانی مورد استفاده قرار می‌گیرد که قصد داریم مقدار متغیر وابسته (Y) را از روی مقدار متغیر مستقل (X) پیش‌بینی کنیم.

فرمول محاسبه ضریب d سامرز

P: تعداد زوج‌هایی که جهت تغییرات رتبه‌هایx و y آن‌ها هماهنگ و یکسان است. یعنی اگر رتبه x افزایش یا کاهش یابد، رتبه y نیز در همان جهت تغییر می‌کند.

Q: تعداد زوج‌هایی که جهت تغییرات رتبه‌های x و y آن‌ها ناهماهنگ و مخالف هم است. یعنی اگر رتبه x افزایش یا کاهش یابد، رتبه y در خلاف جهت آن تغییر می‌کند.

Ty: تعداد زوج‌های گره خورده که رتبه x آن‌ها برابر باشد.

Tx: تعداد زوج‌های گره خورده که رتبه y آن‌ها برابر باشد.

ضریب همبستگی تتراکوریک (tetrachoric correlation cooefficient)

ضریب همبستگی تتراکوریک هنگامی استفاده می‌شود که هر دو متغیر مورد مطالعه، دو ارزشی ساختگی باشند. یعنی دو متغیر در واقع پیوسته (کمی) و نرمال باشند، اما به عمد و از روی ضرورت آن‌ها را به صورت دو ارزشی در آورده باشیم. بنابراین می‌تواند برای داده‌های رتبه‌ای در مقابل رتبه‌ای استفاده شود که ویژگی‌های فوق را داشته باشند. رتبه‌های دو متغیر گسسته هستند و به این ترتیب با ضریب اسپیرمن تفاوت دارند. همچنین، می‌تواند در موقعیت‌هایی که دو نمره دهنده برای یک متغیر وجود دارد، به عنوان معیاری برای توافق بین نمره گذاران استفاده شود. به عنوان مثال،‌پاز دو روانپزشک بخواهیم وجود یا عدم وجود افسردگی حاد را در تعدادی از بیماران تشخیص دهند. دامنه ضریب همبستگی تتراکوریک اعداد محدوده ۱- تا ۱+ را پوشش می‌دهد. معمولاً ضرایب همبستگی تتراکوریک بزرگتر و پراکنده‌تر از ضرایب همبستگی پیرسون هستند.

فرمول محاسبه ضریب همبستگی تتراکوریک

a,b,c,d: فراوانی هر یک از خانه های جدول داده ها

ضریب همبستگی دو رشته‌ای (biserial correlation coefficient)    

ضریب همبستگی دورشته‌ای شبیه به دورشته‌ای نقطه‌ای است. تفاوت آنها در این است که داده‌های کمی (فاصله‌ای یا نسبی) را در مقابل داده‌های رتبه‌ای قرار می‌دهد. داده‌های رتبه‌ای در اصل مربوط به یک متغیر پیوسته بوده‌اند که خود پژوهشگر آن را به طور گسسته با دو ارزش اندازه‌ گیری نموده است. بنابراین ضریب همبستگی دو رشته‌ای زمانی استفاده می‌شود که یک متغیر دارای مقیاس فاصله‌ای یا نسبی و متغیر دوم دوارزشی ساختگی باشد. البته با این فرض که توزیع متغیرها نرمال باشد. مقدار ضریب همبستگی دو رشته‌ای گاهی از یک بیشتر می‌شود. خطای معیار آن خیلی بیشتر از پیرسون است و معمولاً برای تحلیل سئوالات به کار می‌رود.

مثال: برای بررسی رابطه بین اضطراب و پیشرفت تحصیلی. اگر نمرات اضطراب را براساس میانگین به اضطراب بالا و اضطراب پایین طبقه‌بندی کنیم، می‌توانیم ‌از ضریب همبستگی دورشته‌ای استفاده کنیم.

فرمول محاسبه ضریب همبستگی دو رشته‌ای

ضریب همبستگی اتا (η)

یک ضریب همبستگی دو متغیری برای داده‌های پیوسته است، زمانی که رابطه خطی بین دو متغیر وجود ندارد. ضریب اتا را در مواقعی که یکی از متغیرها اسمی یا رتبه‌ای و دیگری فاصله‌ای/ نسبی باشد، نیز می‌توان به کار برد. ضریب همبستگی اتا مبتنی بر خطای پیش‌ بینی است. یعنی مقدار این ضریب نشان می‌دهد با در نظر گرفتن متغیر اسمی یا رتبه‌ای، چه مقدار از خطای پیش‌ بینی متغیر فاصله‌ای مورد نظر کاسته می‌شود. مانند رابطه بین حرکات مخاطره‌ آمیز در حین رانندگی و میزان تصادفات

این ضریب نامتقارن است، مشابه با ضریب همبستگی پیرسون تفسیر می‌شود، اما هرگز نمی‌تواند منفی باشد. یعنی دامنه تغییرات آن بین ۰ و ۱+ است.

فرمول محاسبه ضریب همبستگی اتا

ضریب فی (phi coefficient)

هنگامی که دو متغیر مورد مطالعه اسمی و دو ارزشی واقعی باشند، برای محاسبه ضریب همبستگی آن‌ ها از ضریب فی استفاده می‌شود. یعنی داده‌ها در یک جدول توافقی ۲×۲ که دارای ۲ سطر و ۲ ستون است، ارائه شده باشند. مانند بررسی رابطه بین جنسیت و احساس درد کارگران کارخانه در حین کار

بهترین مورد استفاده ضریب فی محاسبه همبستگی بین سئوال‌های یک آزمون صحیح- غلط است. ضریب فی متقارن است. دامنه تغییرات آن بین ۰ و ۱ است و جهت رابطه در آن معنی ندارد. زیرا با توجه به اسمی بودن داده‌ها، همبستگی‌های منفی از نظر ریاضی غیر ممکن است.

فرمول محاسبه ضریب فی از طریق جدول اعداد توافقی

((φ= (ad-bc)/√((a+b)(c+d)(a+c)(b+d

ضریب توافقی (Contingency coefficient)

ضریب توافقی هنگامی استفاده می‌شود که هر دو متغیر اسمی یا یکی از متغیرها اسمی و دیگری رتبه‌ای باشد. تفاوت آن با ضریب فی در این است که وقتی برای هر متغیر اسمی ۳ ارزش یا بیشتر وجود داشته باشد و جدول داده‌ها مربع شکل، یعنی تعداد سطر و ستون در جدول برابر باشد (مانند جدول‌های ۳×۳، ۴×۴ و …) از ضریب توافقی استفاده می‌کنیم. مانند رابطه بین وضعیت تأهل (مجرد، متاهل و مطلقه) و وضعیت اقتصادی (بد،‌ متوسط، خوب)

ضریب توافقی متقارن است، دامنه تغییرات آن بین ۰ و ۱ است و جهت رابطه در آن معنی ندارد. زیرا با توجه به اسمی بودن داده‌ها، همبستگی‌ های منفی از نظر ریاضی غیر ممکن است. البته هر چه تعداد ارزش‌ها یا طبقات متغیر بیشتر باشد، مقدار این ضریب نیز بیشتر خواهد بود. اما به ندرت به ۱ می‌رسد مگر اینکه تعداد طبقات بسیار افزایش یابد.

فرمول محاسبه ضریب توافقی از طریق آماره خی دو

ضریب لامبدا (Lambda coefficient)

ضریب لامبدا زمانی به کار می‌رود که دو متغیر مورد مطالعه اسمی و چند ارزشی یا یکی از متغیرها اسمی و دیگری رتبه‌ای باشد. این ضریب نسبت به تعداد مقوله‌ها (ارزش‌های) دو متغیر محدودیتی ندارد. برای پیش‌ بینی مقادیر متغیر وابسته از روی مقادیر متغیر مستقل به کار می‌رود و کاهش نسبی در خطا را انعکاس می‌دهد. به عنوان مثال، آیا با استفاده از وابستگی افراد به یک حزب سیاسی می‌توان رأی آن‌ها به یک نامزد انتخاباتی را پیش‌ بینی کرد.

ضریب لامبدا بین ۰ و ۱+ است. اگر مقدار این ضریب ۰ باشد، یعنی متغیر مستقل در پیش‌ بینی متغیر وابسته هیچ کمکی نمی‌کند و مقدار ۱ یعنی متغیر مستقل به طور کامل متغیر وابسته را پیش‌بینی می‌کند.

ضریب لامبدا نامتقارن است. با توجه به اینکه کدام متغیر را متغیر مستقل در نظر می‌گیریم، دو مقدار لامبدا به دست می‌آید. میانگین این دو مقدار به عنوان معیاری مناسب برای میزان همبستگی دو متغیر استفاده می‌شود.

فرمول محاسبه ضریب لامبدا

ضریب تاو گودمن و کروسکال (Goodman and Kruskal’s tau)

ضریب تاو گودمن و کروسکال نیز برای ارزیابی شدت رابطه بین متغیرهایی که هر دو اسمی یا یکی اسمی و دیگری رتبه‌ای باشد، به کار می‌رود. این ضریب نسبت به تعداد مقوله‌های متغیرها محدودیت ندارد. برای مثال، پیش‌ بینی خشونت طلبی در افراد براساس گروه سنی.

ضریب گودمن و کروسکال یک ضریب متقارن است که در آن متغیر مستقل و وابسته مشخص نیست. مقدار این ضریب همیشه بین صفر و یک نیست. به ویژه زمانی که تعداد طبقات متغیر وابسته بیش از متغیر مستقل باشد. این ضریب نامتقارن است و دامنه تغییرات آن از ۰ تا ۱+ است.

فرمول محاسبه ضریب تاو گودمن و کروسکال