در طرح فرضیه تفاوتی، محقق به دنبال بررسی و مقایسۀ تفاوت تأثیر دو یا چند متغیر یا گروه بر یک یا چند متغیر دیگر است. در این صورت، فرضیه به صورتی بیان می‌شود که تفاوتها حدس زده می‌شوند و مقایسه‌ای انجام می‌گیرد. در صورتی که متغیرها فاصله‌ای یا نسبی و توزیع داده‌ها نرمال باشد، از آزمون های پارامتریک برای فرضیه های تفاوتی استفاده می‌شود. برخی از این آزمونها عبارتند از:
آزمون t تک نمونه‌ای که به آن t تک گروهی و t ادعا نیز گفته می‌شود، با مقایسه میانگین نمونه و جامعه تعیین می‌کند آیا میانگین مشاهده شده در نمونه با میانگین جامعه مفروض تفاوت دارد یا خیر. در این آزمون ابتدا عددی را برای میانگین جامعه فرض نموده، سپس از طریق آزمون t تک نمونه‌ای میانگین نمونه را با میانگین جامعه مقایسه می‌کند. در استفاده از این آزمون باید توجه شود که مقیاس اندازه‌گیری فاصله‌ای یا نسبی و توزیع داده‌ها نرمال باشد. برای مثال، بخش کنترل کیفی یک کارخانه مونتاژ لپ‌تاپ می‌خواهد تعیین کند که آیا وزن لپ‌تاپ‌های تولید شده ۲٫۵ کیلوگرم است یا خیر. به منظور بررسی این ادعا یک نمونه تصادفی از لپ‌تاپ‌های خط مونتاژ گردآوری و آن‌ها را وزن می‌کند. سپس میانگین آن‌ها را با عدد ۲٫۵ مقایسه می‌نماید.
تصمیم‌گیری: در صورتی که t محاسبه شده از t بحرانی جدول بزرگتر یا مساوی باشد (یا ۰٫۰۵ > p-value)، فرض صفر رد و فرض خلاف تأیید می‌شود. بنابراین در فرضیه بدون جهت با اطمینان ۹۵ درصد نتیجه می‌گیریم تفاوت دو میانگین از لحاظ آماری معنی‌دار است.
آزمون t مستقل برای مقایسه میانگین یک متغیر در دو نمونه مستقل یا مقایسه میانگین دو گروه مستقل که هر کدام در معرض یک متغیر مستقل متمایز قرار گرفته‌اند، به کار می‌رود. برای مثال با استفاده از این آزمون می‌توانید تعیین کنید که آیا اضطراب امتحان در بین دانش آموزان دختر و پسر متفاوت است یا خیر. شرط استفاده از این آزمون این است که مقیاس داده‌ها حداقل فاصله‌ای، گروه‌ها مستقل و واریانس دو گروه یکسان باشد. همچنین توزیع داده‌ها نرمال باشد. در صورتی که توزیع داده‌ها نرمال نباشد می‌توان از آزمون ناپارامتریک u مان- ویتنی استفاده کرد.
تصمیم‌گیری: در صورتی که t محاسبه شده از t بحرانی جدول بزرگتر یا مساوی باشد (یا ۰٫۰۵ > p-value)، فرض صفر رد و فرض خلاف تأیید می‌شود. بنابراین در فرضیه بدون جهتبا اطمینان ۹۵ درصد نتیجه می‌گیریم تفاوت دو میانگین از لحاظ آماری معنی‌دار است.
برای مقایسه دو میانگین، در صورتی که دو گروه مورد مطالعه مستقل از هم نباشند، از آزمون t وابسته استفاده می‌شود.
برای استفاده از آزمون t وابسته، داده‌های متغیر مورد مطالعه باید جفت از یک نمونه باشند. مقیاس داده‌ها فاصله‌ای یا نسبی باشد. واریانس دو گروه یکسان و توزیع داده‌ها نرمال باشد.در صورتی که توزیع داده‌ها نرمال نباشد، به جای آن می‌توان از آزمون‌های ناپارامتریک مانند ویلکاکسون، علامت و مک – نمار استفاده کرد.
تصمیم‌گیری: در صورتی که قدرمطلق t محاسبه شده از t بحرانی جدول بزرگتر یا مساوی باشد (یا ۰٫۰۵ > p-value)، فرض صفر رد و فرض خلاف تأیید می‌شود. بنابراین در فرضیه بدون جهت، با اطمینان ۹۵ درصد می‌توان نتیجه گرفت تفاوت بین دو میانگین از لحاظ آماری معنی‌دار است.
از آزمون تحلیل واریانس یکطرفه که توسط سر رونالد فیشر ابداع شده و به آزمون F فیشر نیز معروف است، در شرایط یا موقعیت‌هایی استفاده می‌شود که یک متغیر تحت سه موقعیت یا بیشتر مورد آزمون واقع می‌شود و در هر موقعیت آزمودنی‌های متفاوتی شرکت دارند.
مانند بررسی تأثیر سه روش تدریس مختلف بر پیشرفت تحصیلی دانش‌آموزان که در آن آزمودنی‌ها به طور تصادفی در ۳ گروه جایگزین شده و هر گروه با یکی از روش‌های تدریس آموزش داده می‌شوند.
یا در مثالی دیگر، پژوهشگری قصد دارد تأثیر تحصیلات را بر بهره‌وری کارکنان سازمانی بررسی کند. او کارکنان را براساس مدرک تحصیلی به گروه‌های مختلف دیپلم و فوق دیپلم، لیسانس و بالاتر از لیسانس تقسیم می‌کند، سپس به طور تصادفی از هر گروه تعدادی از کارکنان را انتخاب و میزان بهره‌وری آن‌ها را اندازه‌گیری و مقایسه می‌کند.در این آزمون متغیر مورد مطالعه، متغیر وابسته و گروه‌ها نیز به عنوان متغیر مستقل یا عامل (factor) تعریف می‌شوند.
در صورتی که توزیع داده‌ها نرمال نباشد، می‌توان از آزمون ناپارامتریک معادل آن یعنی آزمون کروسکال والیس استفاده کرد.
فرضیه‌های صفر و خلاف برای تحلیل واریانس یکطرفه به صورت زیر تدوین می‌شوند:
در صورتی که F محاسبه شده از F بحرانی جدول بزرگتر یا مساوی باشد (یا ۰٫۰۵ > p-value)، فرض صفر رد و فرض خلاف تأیید می‌شود. بنابراین با اطمینان ۹۵ درصد می‌توان نتیجه گرفت تفاوت بین میانگین‌ها از لحاظ آماری معنی‌دار است.
تحلیل واریانس یکطرفه در صورت معنی‌دار بودن تفاوت بین میانگین گروه‌ها (نسبت F) به آزمون‌های تعقیبی (post hoc) نیاز دارد تا کیفیت این تفاوت را مشخص کند. یعنی میانگین کدام گروه به طور معنی‌داری بیشتر یا کمتر از گروه دیگر است، یا به عنوان مثال آیا بین میانگین گروه اول با میانگین گروه دوم و سوم تفاوت معنی‌داری وجود دارد؟
انواع آزمون‌های تعقیبی
این آزمون تعمیم یافته آزمون t برای دو گروه وابسته است. در صورتی که بخواهیم میانگین یک متغیر را در k گروه وابسته (بیش از دو گروه) مورد مقایسه قرار دهیم، یا در واقع تفاوت‌های یک متغیر وابسته را در بیش از دو مقطع زمانی مورد مقایسه قرار دهیم، از تحلیل واریانس به روش اندازه‌گیری‌های مکرر استفاده می‌کنیم. اندازه‌گیری‌های مکرر به طرحی گفته می‌شود که در آن آزمودنی‌های یکسان در چندین (k) زمان یا موقعیت مختلف آزمایشی اندازه‌گیری می‌شوند.
به عنوان مثال از این آزمون می‌توانید برای بررسی اثر یک برنامه ورزشی بر میزان فشار خون که اندازه‌گیری فشار خون در سه زمان مجزا مانند قبل از اجرای برنامه، در اواسط اجرای برنامه و پس از اتمام دوره تمرینات ورزشی استفاده کنید. یا اینکه برای بررسی اثر سه نوع تمرین ورزشی بر فشار خون، آزمودنی‌های یکسانی را انتخاب نموده و فشار خون آن ها را در هر یک از موقعیت‌ها اندازه‌گیری کنید.
در صورتی که توزیع داده‌ها نرمال نباشد، می‌توان از آزمون ناپارامتریک معادل آن یعنی آزمون فریدمن استفاده کرد.
فرضیه‌های صفر و خلاف به صورت زیر می‌باشند:
تصمیم‌گیری: در صورتی که F درون آزمودنی محاسبه شده از F بحرانی جدول بزرگتر یا مساوی باشد (یا ۰٫۰۵ > p-value)، فرض صفر رد و فرض خلاف تأیید می‌شود. بنابراین با اطمینان ۹۵ درصد می‌توان نتیجه گرفت تفاوت معنی‌داری بین میانگین‌ها وجود دارد و حداقل میانگین دو تا از موقعیت‌ها یکسان نیست.
در تحلیل واریانس دوطرفه تأثیر دو متغیر (دو عامل) به طور همزمان مورد مطالعه قرار می‌گیرند که در آن ترکیب‌های مختلفی از سطوح دو متغیر وجود دارد. برای مثال آیا تاثیر جنسیت (پسر و دختر) بر اضطراب امتحان به مقطع تحصیلی (ابتدایی و متوسطه) آن‌ها بستگی دارد؟ در این پژوهش یک متغیر وابسته کمی و دو متغیر مستقل یا عامل یعنی مقطع تحصیلی و جنسیت وجود دارد که هر یک از آن‌ها دارای دو سطح است. به آزمون مورد استفاده برای چنین پژوهش‌هایی تحلیل واریانس دو طرفه یا دو عاملی گفته می‌شود.
به طور کلی اگر متغیر A دارای p سطح و متغیر B نیز دارای q سطح باشد، طرح مورد نظر یک طرح عاملی q×p نامیده می‌شود. رایج‌ترین نوع تحلیل واریانس عاملی طرح ۲×۲ است که در آن دو متغیر مستقل وجود دارد که هر کدام دو سطح دارند. در جدول زیر یک طرح ۲×۲ نشان داده شده است.
طرح عاملی ۲×۲
۱– متغیر وابسته باید کمی (فاصله‌ای یا نسبی) باشد.
۲- دو متغیر مستقل یا عامل حداقل با دو سطح وجود داشته باشد. یعنی مقیاس آن‌ها سطح اسمی یا رتبه‌ای باشد.
۳- گروه‌ها مستقل از یکدیگر و واریانس آن‌ها برابر باشد.
۴- توزیع داده‌ها نرمال باشد.
با انجام تحلیل واریانس دوطرفه، سه فرضیه مورد بررسی قرار می‌گیرد و سه نتیجه حاصل می‌شود:
فرضیه‌های صفر و خلاف به صورت زیر تدوین می‌شوند:
تصمیم‌گیری: در صورتی که F محاسبه شده هر یک از عوامل (A، B و اثر تعاملی AB) از F بحرانی جدول بزرگتر یا مساوی باشد (یا ۰٫۰۵ > p-value)، فرض صفر رد و فرض خلاف تأیید می‌شود. بنابراین اگر فرض خلاف درباره هر یک از عامل‌ها تأیید شود، با اطمینان ۹۵ درصد می‌توان نتیجه گرفت اثر اصلی هر یک از عامل‌ها (یعنی اثر اصلی A و اثر اصلی B) و اثر تعاملی A و B بر متغیر وابسته معنی‌دار است یا به عبارت دیگر تأثیر آن‌ها پذیرفته می‌شود.
در تحلیل واریانس دوطرفه با استفاده از نمودار می‌توان وجود یا عدم وجود اثر تعاملی بین متغیرها را نشان داد.
– در نمودار تعامل، شیب هر یک از خطوط تا حدودی بیانگر میزان ارتباط بین دو متغیر است. هر چه شیب خط زیادتر باشد، ارتباط بین متغیرها بیشتر است.
– اگر خطوط نمودار یکدیگر را قطع کنند، در اینصورت اثر تعاملی را نامنظم می‌گویند. یعنی سطوح عامل A روی سطوح عامل B تأثیر متفاوت دارد.
– اگر دو خط موازی باشند، تعامل آن‌ها بی معنی یا صفر است. به عبارتی تعامل B× A صفر است. یعنی میزان ارتباط برای هر دو سطح تقریباً یکسان است.
– اگر خط نمودار موازی محور Xها باشد، نشانه نبود ارتباط است. اگر دو خط نمودار موازی یکدیگر نباشند و یکدیگر را نیز قطع نکنند، اثر تعاملی را منظم می‌گویند.
تحلیل کواریانس روشی برای کنترل آماری اثر متغیرهایی است که قصد بررسی آن‌ها را نداریم (متغیرهای مزاحم). این متغیرها متغیر تصادفی کمکی، متغیر کنترل یا همپراش نامیده می‌شوند که باید در مقیاس فاصله‌ای یا نسبی اندازه گیری شده باشند.
اما در تفسیر نتایج حاصل از تحلیل کوواریانس در طرح‌های شبه آزمایشی و غیرآزمایشی باید احتیاط کرد. چون داده‌های حاصل از این تحقیقات از گروه‌های تصادفی شده به دست نمیآید و حذف اثر یک متغیر کمکی ممکن است، گروه‌ها را از لحاظ سایر متغیرها نامتعادل سازد.
برای مثال، نمرات پیش آزمون در طرح‌های آزمایشی پیش آزمون – پس آزمون به عنوان متغیر کمکی به کار برده می‌شوند. فرض کنید محققی فرضیه‌ای دارد دارد که می‌گوید: دوره‌ی آموزشی بر سازگاری عاطفی و اجتماعی کودکان تاثیر دارد و موجب بهبود و افزایش سازگاری عاطفی و اجتماعی کودکان می‌شود. برای این کار از یک طرح آزمایشی پیش آزمون – پس آزمون با گروه کنترل استفاده می‌کند. او ابتدا با یک پیش آزمون میزان سازگاری عاطفی و اجتماعی را در هر دو گروه اندازه می‌گیرد. سپس دوره آموزشی را برای گروه آزمایش اجرا و دوباره با استفاده از پس آزمون سازگاری عاطفی و اجتماعی کودکان را اندازه‌گیری می‌کند.
در چنین طرحی محقق می‌تواند با استفاده از تحلیل کوواریانس، میانگین‌های پس آزمون را پس از تعدیل نمرات پیش آزمون مورد مقایسه قرار دهد. این تحقیق شامل یک متغیر مستقل طبقه‌ای (با دو سطح) یعنی گروه آزمایش و کنترل، یک متغیر وابسته پیوسته یعنی سازگاری عاطفی و اجتماعی و یک متغیر همپراش پیوسته یعنی پیش آزمون است. تحلیل کوواریانس، واریانس ناشی از رابطه بین متغیر کمکی و متغیر وابسته را حذف می‌کند و از این طریق واریانس خطا را کاهش می‌دهد. به همین دلیل احتمال بیشتری وجود دارد که متغیر مستقل در متغیر وابسته تاثیر معنی‌دار بگذارد.
برای مثال، تصور کنید ما براساس تحقیقات انجام شده به این نتیجه رسیده‌ایم که پیشرفت دانش‌آموزان دختر و پسر در درس ریاضی متفاوت است. اما ممکن است این تفاوت به این دلیل باشد که پسران در دوره راهنمایی تعداد واحدهای ریاضی بیشتری می‌گذرانند. تحلیل کوواریانس به ما اجازه می‌دهد که نمرات پیشرفت ریاضی را براساس رابطه بین تعداد واحدهای درس ریاضی و پیشرفت ریاضی تعدیل کنیم.
تحلیل کوواریانس یکراهه یا تک متغیری شامل یک متغیر مستقل طبقه‌ای (با دو یا چند سطح)، یک متغیر وابسته پیوسته و یک یا چند متغیر کمکی پیوسته است. سئوال اصلی تحلیل کوواریانس یکراهه این است که آیا پس از کنترل تفاوتها در متغیر کمکی بین میانگین‌های متغیر وابسته در سطوح مختلف عامل (متغیر مستقل) تفاوت وجود دارد یا خیر؟
فرضیه‌های صفر و خلاف این آزمون همانند تحلیل واریانس می‌باشند، با این تفاوت که در اینجا تفاوت بین میانگین‌های تعدیل شده مطرح می‌شود:
در صورتی که F تحلیل کوواریانس یا به عبارت دیگر F گروه از F بحرانی جدول بزرگتر یا مساوی باشد (یا ۰٫۰۵ > p-value)، فرض صفر رد و فرض خلاف تأیید می‌شود. بنابراین با اطمینان ۹۵ درصد می‌توان نتیجه گرفت تفاوت معنی‌داری بین میانگین‌های تعدیل شده وجود دارد و در نتیجه اثر گروه معنی‌دار بوده است. سپس با استفاده از میانگین‌های تعدیل شده مشخص می‌کنیم که میانگین کدام گروه بیشتر بوده است. به عنوان نمونه اگر در مثال تاثیر دوره‌ی آموزشی بر سازگاری عاطفی و اجتماعی کودکان، میانگین تعدیل شده گروه آزمایش بیشتر باشد، در این صورت برگزاری دوره‌ی آموزشی بر سازگاری عاطفی و اجتماعی کودکان موثر است.
آزمون F تحلیل کوواریانس ارزیابی می‌کند که آیا میانگین‌های متغیر وابسته که براساس متغیر کمکی تعدیل شده‌اند، در سطوح مختلف عامل (متغیر مستقل) تفاوت دارند. اگر عامل بیش از دو سطح داشته باشد (مانند مقطع تحصیلی ابتدایی، راهنمایی و متوسطه) و F معنادار باشد، در این صورت باید آزمون‌های تعقیبی را نیز اجرا کنیم تا تعیین کنیم میانگین کدام گروه‌ها تفاوت دارند.
